Vorbereitung

Bestimmtheitsmaß $R^2$ bestimmen

Bestimmtheitsmaß $R^2$

$$R^2:=1-\frac{\sum (y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{\sum (y_i-\overline{y}{)}^2}=1-\frac{E_{modell}}{E_{vergleich}}$$

• $E_{vergleich}$ Quadratischer Fehler des Vergleichsmodells, das immer den `Durchschnitt aller Zielwerte in den Testdaten vorhersagt.
• $E_{modell}$ Quadratischer Fehler des Regressionsmodells, das traininiert wurde, um die Zielwerte auf Basis der Eingabedaten vorherzusagen.
• $y_i$ repräsentieren den tatsächlichen Werte.

Je näher $R^2$ an der 1 ist, desto besser ist das Modell

Aufgabe

Gegeben ist die Umsatzformel:

$$y=10x+30$$

• $y$ = monatlicher Umsatz
• $x$ = Anzahl der Werbeanzeigen pro Monat

Die Daten für fünf Kunden sind gegeben:

Kunde	Anzahl Werbeanzeigen
1	5
2	10
3	15
4	20
5	25

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Aufgabe a) Umsatz berechnen

Hier wird die Formel $y=10x+30$ auf die Anzahl der Werbeanzeigen angewendet, um den prognostizierten Umsatz für jeden Kunden zu berechnen:

Beispiel für Kunde 1:

$$y=10\cdot 5+30=80$$

Die berechneten Werte für alle Kunden:

Kunde	Anzahl Werbeanzeigen (x)	Umsatz (y = 10x + 30)
1	5	80
2	10	130
3	15	180
4	20	230
5	25	280

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Aufgabe b) Tatsächlicher Umsatz im Vergleich zur Prognose

Die tatsächlichen Umsatzwerte weichen von den prognostizierten Werten ab. Die Tabelle stellt beide Werte gegenüber:

Kunde	Anzahl Werbeanzeigen (x)	Tatsächlicher Umsatz $y_i$	Prognostizierter Umsatz ${\hat{y}}_i$
1	5	80	80
2	10	125	130
3	15	185	180
4	20	220	230
5	25	270	280

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Aufgabe c) Bestimmtheitsmaß $R^2$ berechnen

Das Bestimmtheitsmaß $R^2$ gibt an, wie gut das Modell die tatsächlichen Werte erklärt:

$$R^2:=1-\frac{\sum (y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{\sum (y_i-\overline{y}{)}^2}=1-\frac{E_{\text{modell}}}{E_{\text{vergleich}}}$$

1. Quadratischen Fehler $E_{\text{modell}}$ berechnen

$$E_{\text{modell}}=\sum (y_i-{\hat{y}}_i{)}^2$$

Einsetzen der Werte:

$$E_{\text{modell}}=(80-80{)}^2+(125-130{)}^2+(185-180{)}^2+(220-230{)}^2+(270-280{)}^2$$ $$E_{\text{modell}}=0+25+25+100+100=250$$

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2. Quadratischen Fehler $E_{\text{vergleich}}$ berechnen

Der Mittelwert der tatsächlichen Umsätze wird berechnet als:

$$\overline{y}=\frac{80+125+185+220+270}{5}=176$$

Nun berechnen wir $E_{\text{vergleich}}$:

$$E_{\text{vergleich}}=\sum (y_i-\overline{y}{)}^2$$

Einsetzen der Werte:

$$E_{\text{vergleich}}=(80-176{)}^2+(125-176{)}^2+(185-176{)}^2+(220-176{)}^2+(270-176{)}^2$$ $$E_{\text{vergleich}}=9216+2601+81+1936+8836=23670$$

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3. Bestimmtheitsmaß $R^2$ berechnen

$$R^2=1-\frac{E_{\text{modell}}}{E_{\text{vergleich}}}$$ $$R^2=1-\frac{250}{23670}$$ $$R^2\approx 1-0.0106=0.9894$$

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Ergebnis

Das Bestimmtheitsmaß $R^2\approx 0.9894$ zeigt, dass das Modell etwa 98,94 % der Varianz der tatsächlichen Umsatzwerte erklärt. Damit ist das Modell sehr genau.