Mathe Wiederholung

1. Lineare Algebra

Vektoren und Matrizen

• Vektoren sind Listen von Zahlen, z. B. $\vec{v}=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]$.
• Matrizen sind rechteckige Anordnungen von Zahlen: $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$.
• Sie dienen zur Darstellung von Transformationen und Gleichungssystemen.

Addition

• Zwei Vektoren oder Matrizen gleicher Größe werden elementweise addiert: $\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right]$

Skalarprodukt (Dot Product)

• Produkt zweier Vektoren ergibt eine Zahl: $\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]=1\cdot 3+2\cdot 4=11$

Kreuzprodukt (nur im 3D)

• Ergibt einen neuen Vektor senkrecht zu den Eingabevektoren: $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

Matrizenmultiplikation

• Zeile mal Spalte: $\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}5\\ 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\cdot 5+2\cdot 6\\ 3\cdot 5+4\cdot 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}17\\ 39\end{array}\right]$

Transponieren

• Zeilen werden zu Spalten: $A^T={\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right]$

Lineare Gleichungssysteme (LGS)

• Beispiel: $x+y=5$, $x-y=1$
• In Matrixform: $A\vec{x}=\vec{b}$ mit

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right],\vec{x}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right],\vec{b}=\left[\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right]$$

Lösung mit Inverser Matrix

• $\vec{x}=A^{-1}\vec{b}$, falls Inverse existiert.

Gauss-Verfahren

• Systematisch Nullstellen erzeugen, um Schritt für Schritt zu lösen (z. B. durch Additionen und Subtraktionen von Zeilen).

Determinanten und Inverse

• Determinante zeigt, ob eine Matrix invertierbar ist: $\text{det}\left(\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\right)=ad-bc$
• Inverse nur bei nicht-null Determinante möglich.

Anwendung bei Transformationen

• Matrizen wie Rotations- oder Skalierungs-Matrizen verändern Objekte im Raum.

Eigenwerte und Eigenvektoren (optional)

• Eigenvektor bleibt bei Transformation in Richtung gleich: $A\vec{v}=\lambda \vec{v}$
• Nützlich zur Beschreibung von Stabilität, Dynamik oder Steuerung.

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2. Geometrie im Raum / Analytische Geometrie

Koordinatensysteme und Punktbeschreibungen

• Ein Punkt im Raum wird mit Koordinaten beschrieben, z. B. $P=(x,y,z)$.
• Das Koordinatensystem besteht aus drei Achsen: x, y, z – meist rechtwinklig.

Transformationen im Raum

Translation (Verschiebung)

• Ein Punkt wird um einen Vektor $\vec{t}=(a,b,c)$ verschoben: $P^{\prime }=P+\vec{t}$

Rotation (Drehung)

• In 2D um den Ursprung: Drehmatrix $R(\theta )$ mit Winkel $\theta$:

$$R(\theta )=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$

• In 3D kann um x-, y- oder z-Achse gedreht werden, z. B. z-Achse:

$$R_z(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

Homogene Koordinaten

• Erweitern 3D-Punkte zu 4D, um Transformationen einheitlich zu schreiben: $P=(x,y,z,1)$
• Ermöglichen Rotation + Translation mit einer einzigen Matrix:

$$T=\left[\begin{array}{cc}R& \vec{t}\\ 0& 1\end{array}\right],P^{\prime }=T\cdot P$$

Kombination von Rotation und Translation

• Wird über homogene Transformationsmatrix realisiert:

$$T=\left[\begin{array}{cc}{R}_{3x3}& {\vec{t}}_{3x1}\\ 0_{1x3}& 1\end{array}\right]$$

• Beispiel: Roboterarm-Position, Kamerabewegung

Orientierung im Raum

Euler-Winkel

• Beschreiben Orientierung durch drei aufeinanderfolgende Drehungen (z. B. Roll, Pitch, Yaw)
• Reihenfolge der Achsen ist entscheidend (z. B. ZYX)

Achsenrotationen

• Einzelne Drehungen um feste Koordinatenachsen (x, y, z)
• Für 3D-Animation oder Robotik wichtig

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4. Analysis

Ableitungen

• Die Ableitung gibt an, wie stark sich eine Funktion ändert.
• Beispiel: $f(x)=x^2\Rightarrow f^{\prime }(x)=2x$

Partielle Ableitungen

• Bei Funktionen mit mehreren Variablen, z. B. $f(x,y)$, leitet man nur nach einer Variable ab: $\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}$
• Beispiel: $f(x,y)=x^{2}y\Rightarrow \frac{\partial f}{\partial x}=2xy$

Kettenregel & Vektorfunktionen

• Bei verschachtelten Funktionen: $f(g(x))\Rightarrow f^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$
• Vektorfunktion: $\vec{r}(t)=\left[\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\\ z(t)\end{array}\right]$
• Geschwindigkeit: $\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}$, Beschleunigung: $\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}$

Jacobi-Matrix

• Matrix der partiellen Ableitungen einer Vektorfunktion:

$$J=\frac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{x}}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}& \dots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{array}\right]$$

• Beispiel: Position des Roboters $\vec{x}\Rightarrow \vec{f}(\vec{x})$

Anwendung: Gelenk- vs. Endeffektorbewegung

• In Robotik zeigt die Jacobi-Matrix, wie sich eine kleine Gelenkbewegung $\Delta \vec{q}$ auf den Endeffektor $\Delta \vec{x}$ auswirkt: $\Delta \vec{x}=J(\vec{q})\cdot \Delta \vec{q}$
• Grundlage für inverse Kinematik und Steuerung

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